その街のこども 劇場版 window.twttr = (function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0], t = window.twttr || {}; if (d.getElementById(id)) return t; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "https://platform.twitter.com/…

A ────→ X │ ┐ │ │ ／ │ r│ ／ │ │ ／ │ ↓／ ↓ B ────→ Y上の図の四角が pullback だとします。このとき、 右下三角を可換にする斜めの射 r のセクション は一対一に対応します。 証明は簡単なので省略します。 こんな時に使えるかも(1) X ┐ │ ・ │ ・ │ ・ …

ここらへんの続き。順序集合のフィルターとイデアルについて。 半順序集合の部分集合がある条件を満たすとき、フィルターであるという。通常の定義はフィルター (数学) - Wikipedia参照。またその双対概念をイデアルという。これをカテゴリカルに表してみる…

ここらへんの続き。 dcpo (directed complete partial ordered set)*1 の定義。 順序集合 D が dcpo D が有向余完備*2でかつ、始対象を持つ。 有向集合の定義は順序集合で圏(1)を参照。ここであれば単にフィルター圏であること。 文献によっては始対象の存在…

ここらへんの続き。順序ではおなじみの概念たち。考える順序集合を D として、その部分順序集合を A, B,... とする。x は D の元を表す。「x が錐」という言い方は普通はしないが、錐ができるなら実質的に1つしかなく*1、神経質になることはないので気にせず…

順序集合での図式の極限 順序集合での極限は、図式を構成する対象だけで決まる。 図式が与えられたとして、錐を考えると、図式(=錐の底)の射を足しても取り除いても、錐の可換性は保たれる。つまり、射の有無で錐が錐でなくなることはない。従って図式の対象…

順序集合を圏論的に考えるのに便利な概念を整理する。簡単のため、充満部分圏とその埋め込み関手と関手圏の対象としての埋め込み関手をポインティングする関手を同じ記号で表すことにする。 順序集合からの関手 プレ順序集合から一般の圏への関手は忠実関手…

順序集合とは、その元の間に順序関係 ≦ がある集合。この関係「≦」を単純に矢印「→」に読み替えると圏になる。逆に、ある条件を満たす圏は「→」を「≦」に読み替えることで順序集合になる*1。 ということは、順序集合にまつわるあれこれ*2を圏の概念で表すこ…

前々回、前回に続いて3度目。そろそろ打ち止め。Cartesian morphism in nLabを参考に。 前回のやり方を基本として、より形を整えると、デカルト射の定義は以下のようになる: p: E → B を関手、f: X → Y を E での射とする。f がデカルト射であるとは、次の圏…

射 f から右図のように、ker f、cok f、cok ker f、ker cok f が作られる。 (ker f) ; f = (ker f) ; (cok ker f) = 0と cok ker f の普遍性より(1)の射が存在する。従って (cok ker f) ; (1) ; (cok f) = f ; (cok f) = 0がなりたつ。 また、(1);(cok f) と…

オリンパス敗訴で明らかになった女弁護士のブラック過ぎる手口｜日刊サイゾー そういえば森・濱田松本法律事務所には(ry と思ったらもういなかった。ふーん。

考える圏を S とする。 S のある対象 A に対して S の任意の対象 Z との直積 A × Z が存在するとする。このとき、A と直積をとる操作は S から S への関手になっている: A×-: S → S この直積関手から S の対象 X への普遍射を考える。すなわち、S のある対象…

整数の集合を Z とする。関数αとβを α: Z → Z, α(x) = x + 2 β: Z → Z, β(x) = x + 3 と定義する。 α、β は endomap の圏S◯(Sは集合圏)の対象になっている。 αとβは iso か？

関手圏の subobject classifierの具体例として、グラフの圏 Sets↓↓ のsubobject classifier を構成してみます。

C を 任意の(小さな)圏、Sets を集合圏として、SetsC の形をした関手圏の subobject classifier を構成してみる。ネタ元はAlgebra in a Topos(PDF)。 subobject classifier Ω は関手圏 SetsC の対象だから関手 Ω: C → Sets。Ωの対象部分を以下のように定義す…

圏 C の対象 X について X 上の sieve とは、X へ向かう射(0個、複数可)からなる放射状の図式 S で、 任意の射 f ∈ S と射 g が g ; f と結合可能ならば、g ; f ∈ S をみたすものをいう。 上の条件を "closed under precomposition with morphisms in C"、あ…

昨日の読書会で未消化だったので復習. 補題 2.6.5 (Lambek) T-始代数 φ: TY → Y は iso. 下の図で考える. Tf Tφ TY────→TTY────→TY ｜ ｜ ｜ ｜φ ｜Tφ ｜φ ｜ ｜ ｜ ↓ ↓ ↓ Y────→TY ────→ Y f φ左の四角は φ が始代数だから f が唯一つ存在することで保証さ…

スライスは、圏から新しい圏をつくるそこそこメジャーな方法。定義の一例を書いてみる。圏 C とその対象 X に対してスライス X/C とは 対象: X → A なる射。A は C の任意の対象。 射 : f: x → y は、C の射 f で x;f = y (in C) を満たすもの。 という圏。…

「トポスは有限余極限を持つ」で概略だけ紹介した、余極限をつくる手順をまとめてみる。以下の話は全て任意のトポスで可能な構成になっているが、集合圏を思い浮かべればいいと思う。 P をパワーセット関手(反変、自己関手)、ε を P2 コモナド*1の余単位とす…

よくわからなくなるのでメモ。とくに順像のほう。 「＼」は集合差、「-c」は補集合をとる演算。X、Y は適当に解釈する。 行って来い X⊇f(f-1(X))X⊆f-1(f(X)) 関係 順像逆像 X⊆Y ⇒ f(X)⊆f(Y)X⊆Y ⇒ f-1(X)⊆f-1(Y) 演算 順像逆像 ∪f(X∪Y)=f(X)∪f(Y)f-1(X∪Y)=f-1…

Conceptual Mathematics Article IV Exercise 17*1を解こうとして行き詰まった。 問題は以下。S は集合圏で、B はそれぞれの圏の対象。 In S, S↓↓, and S◯, sums have the property that any point of B1 + B2 comes via injection from a point of exactly …

集合圏のように、極限と余極限が常に存在する場合に、面白いことが言えるのでメモ。以下は集合圏で書くが 一般化は色々できると思う。 Sets を集合圏とする。任意の圏 C と任意の関手 J: C → Sets があるとする。J ∈ |SetsC|。J は Sets 内の図式と思ってよ…

圏論の基礎(マックレーン)などで極限の定義に用いられている普遍射*1の概念と, 関手の表現可能性の間にはっきりした関係があったので書いておく. 普遍射と関手の表現可能性 マックレーンに書いてありそうだけど書いてない内容. *2 関手 F: D → C と c ∈ |C| …

カルテシアン射の言い換えで簡単に証明できるCLTTの演習問題があったので書いておく。 f がカルテシアンで, g, h が関手で同じ射に移る*1とき, g;f = h;f ならば g = h. 証明 g, h ∈ Lifts( f, g; f ) pg = ph ∈ Lifts(pf, (pg);(pf))で, g, h は共に関手 p …

ふと思い立って肉じゃがを作ったら予想以上にうまくいったのでメモ。 縛りとしては、醤油、砂糖、みりんは持ってないから使わない。かわりにめんつゆ(濃縮2倍)を使う。 参考にしたのはこのレシピ。 材料 分量は全部1にした。だいたい2人分ぐらいじゃないかな…

以前、デカルト射の定義について書いたが、あれはとても覚えにくいしイメージもしづらい。そこで同値な性質で覚えやすい、わかりやすいものはないものかと考えてみた。 手元に証明はあるが、ここではめんどくさくて省略してしまった。なので、あまり信用せず…

「エピならば全射」の証明にちょっと不満があったので別のを考えてみた。とはいってもほとんど同じ。 具体的には、集合と写像的な議論が多くてカテゴリカルな構造との境がよく分からないところが不満。今回の証明で満足かは自分でもよく分からないけど、前の…

集合と写像の圏で、 全射 <=> エピであることを示す。Conceptual Mathematics 読書会でつっかえたが、2点集合を使えば比較的楽に示せるというのがポイント。 fが全射 => fがエピ 「集合圏ではレトラクションと全射は同値」で示したようにfが全射ならばセクシ…

集合と写像の圏で、 レトラクション <=> 全射であることを示す*1。 fがレトラクション => f が全射 fがレトラクションだから、セクションを持つ: s f B ------> A ------> B s;f = id (1)一般に写像について、 φ ψ X ------> Y ------> Z ならば Z ⊇ Im ψ ⊇ …

この記事の証明は難しいとしても、ベキ集合の存在ぐらいは知っておいたほうがいいかなとやり始めたら全然できないのでガックリきました。 仕方ないので色々調べまわってやっと見つけました。先の記事にもあった、TOPOSES, TRIPLES AND THEORIES (Barr, Wells…