見ればいいと思うよ！

今週の活動はこれだけ。

ガロア接続は名前の恐ろしさに反して意外に簡単で面白い。証明も難しくない上に面白い。別の場所に書いたのを転載する。 基本的にマックレーンの「圏論の基礎」pp. 124-126 の劣化コピー。 ガロア接続*1 順序集合 R, S の間に反単調写像*2 f:R→S, g:S→R があ…

定理28 G=Gal(E/K) として、 E× を G-加群と思う。同じことだが、群環Z[G]を環とする加群と思う。 G の E× 係数1次コホモロジーを考える。具体的な式は Wikipedia にある。ちなみにこの群コホモロジーの具体的な表式は、河田では標準鎖複体を用いたものとし…

昔々読んで感銘を受けた証明を書く*1。 n、m > 0 を自然数とする。 J = { x : 整数 | x = an + bm, a, b: 整数} とする。 J は n、m の最大公約数 d の倍数の集合と一致する。 明らかに n、m ∈ J だから、J は正の数を含む。従って J には最小の正の元が存在…

英辞郎によると, スケールとは目盛り、定規、物差し、尺度、基準のことのようなので, 「スケール=単位系」と思うことにします. ところで, 小島順の線型代数によると単位(系)とは 1 次元数ベクトル空間 R (=実数全体)から1次元実ベクトル空間 L への線型同型…

積を終対象(1)とプルバックで. A×B ─→ A │ │ ↓ ↓ B ──→ 1 f,g:A→Bのイコライザをプルバックと積で. E ──→ A │ │ │ │<A,f> ↓ ↓ A ──→ A×B <A,g> プルバックを積とイコライザで. P B ＼ ┐│ ┘ ／ │ A×B │ ／ │ └ ↓ A ────→C</a,g></a,f>

Mac Lane の「圏論の基礎」III章1節演習問題7に、可換環 K 上の多項式環 K[x] の普遍的構成で得られることを示す問題がある。 色々偶然が重なっていくつかのやり方がみつかったので書いておく。 集合圏を Sets、可換環の圏を CRng と書く。また n 点集合を n…

Pullback の一性質に似てるけど別の性質。簡単だけどあまり見たことない。下の図は Pullback。 G×f G×A ------> G×B ｜ ｜ ｜ ｜ ｜π ｜π ｜ ｜ ↓ f ↓ A ---------> B証明は簡単なので省略。

高校の時に担任をしていただいた数学の先生が亡くなった。 非常に厳しい先生でいつも怖かったが、それでもなぜか親しみのもてる方だった。人徳なんだろうと思う。 ご冥福をお祈りします。

その街のこども 劇場版 window.twttr = (function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0], t = window.twttr || {}; if (d.getElementById(id)) return t; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "https://platform.twitter.com/…

A ────→ X │ ┐ │ │ ／ │ r│ ／ │ │ ／ │ ↓／ ↓ B ────→ Y上の図の四角が pullback だとします。このとき、 右下三角を可換にする斜めの射 r のセクション は一対一に対応します。 証明は簡単なので省略します。 こんな時に使えるかも(1) X ┐ │ ・ │ ・ │ ・ …

ここらへんの続き。順序集合のフィルターとイデアルについて。 半順序集合の部分集合がある条件を満たすとき、フィルターであるという。通常の定義はフィルター (数学) - Wikipedia参照。またその双対概念をイデアルという。これをカテゴリカルに表してみる…

ここらへんの続き。 dcpo (directed complete partial ordered set)*1 の定義。 順序集合 D が dcpo D が有向余完備*2でかつ、始対象を持つ。 有向集合の定義は順序集合で圏(1)を参照。ここであれば単にフィルター圏であること。 文献によっては始対象の存在…

ここらへんの続き。順序ではおなじみの概念たち。考える順序集合を D として、その部分順序集合を A, B,... とする。x は D の元を表す。「x が錐」という言い方は普通はしないが、錐ができるなら実質的に1つしかなく*1、神経質になることはないので気にせず…

順序集合での図式の極限 順序集合での極限は、図式を構成する対象だけで決まる。 図式が与えられたとして、錐を考えると、図式(=錐の底)の射を足しても取り除いても、錐の可換性は保たれる。つまり、射の有無で錐が錐でなくなることはない。従って図式の対象…

順序集合を圏論的に考えるのに便利な概念を整理する。簡単のため、充満部分圏とその埋め込み関手と関手圏の対象としての埋め込み関手をポインティングする関手を同じ記号で表すことにする。 順序集合からの関手 プレ順序集合から一般の圏への関手は忠実関手…

順序集合とは、その元の間に順序関係 ≦ がある集合。この関係「≦」を単純に矢印「→」に読み替えると圏になる。逆に、ある条件を満たす圏は「→」を「≦」に読み替えることで順序集合になる*1。 ということは、順序集合にまつわるあれこれ*2を圏の概念で表すこ…

前々回、前回に続いて3度目。そろそろ打ち止め。Cartesian morphism in nLabを参考に。 前回のやり方を基本として、より形を整えると、デカルト射の定義は以下のようになる: p: E → B を関手、f: X → Y を E での射とする。f がデカルト射であるとは、次の圏…

射 f から右図のように、ker f、cok f、cok ker f、ker cok f が作られる。 (ker f) ; f = (ker f) ; (cok ker f) = 0と cok ker f の普遍性より(1)の射が存在する。従って (cok ker f) ; (1) ; (cok f) = f ; (cok f) = 0がなりたつ。 また、(1);(cok f) と…

オリンパス敗訴で明らかになった女弁護士のブラック過ぎる手口｜日刊サイゾー そういえば森・濱田松本法律事務所には(ry と思ったらもういなかった。ふーん。

考える圏を S とする。 S のある対象 A に対して S の任意の対象 Z との直積 A × Z が存在するとする。このとき、A と直積をとる操作は S から S への関手になっている: A×-: S → S この直積関手から S の対象 X への普遍射を考える。すなわち、S のある対象…

整数の集合を Z とする。関数αとβを α: Z → Z, α(x) = x + 2 β: Z → Z, β(x) = x + 3 と定義する。 α、β は endomap の圏S◯(Sは集合圏)の対象になっている。 αとβは iso か？

関手圏の subobject classifierの具体例として、グラフの圏 Sets↓↓ のsubobject classifier を構成してみます。

C を 任意の(小さな)圏、Sets を集合圏として、SetsC の形をした関手圏の subobject classifier を構成してみる。ネタ元はAlgebra in a Topos(PDF)。 subobject classifier Ω は関手圏 SetsC の対象だから関手 Ω: C → Sets。Ωの対象部分を以下のように定義す…

圏 C の対象 X について X 上の sieve とは、X へ向かう射(0個、複数可)からなる放射状の図式 S で、 任意の射 f ∈ S と射 g が g ; f と結合可能ならば、g ; f ∈ S をみたすものをいう。 上の条件を "closed under precomposition with morphisms in C"、あ…

昨日の読書会で未消化だったので復習. 補題 2.6.5 (Lambek) T-始代数 φ: TY → Y は iso. 下の図で考える. Tf Tφ TY────→TTY────→TY ｜ ｜ ｜ ｜φ ｜Tφ ｜φ ｜ ｜ ｜ ↓ ↓ ↓ Y────→TY ────→ Y f φ左の四角は φ が始代数だから f が唯一つ存在することで保証さ…

スライスは、圏から新しい圏をつくるそこそこメジャーな方法。定義の一例を書いてみる。圏 C とその対象 X に対してスライス X/C とは 対象: X → A なる射。A は C の任意の対象。 射 : f: x → y は、C の射 f で x;f = y (in C) を満たすもの。 という圏。…

「トポスは有限余極限を持つ」で概略だけ紹介した、余極限をつくる手順をまとめてみる。以下の話は全て任意のトポスで可能な構成になっているが、集合圏を思い浮かべればいいと思う。 P をパワーセット関手(反変、自己関手)、ε を P2 コモナド*1の余単位とす…

よくわからなくなるのでメモ。とくに順像のほう。 「＼」は集合差、「-c」は補集合をとる演算。X、Y は適当に解釈する。 行って来い X⊇f(f-1(X))X⊆f-1(f(X)) 関係 順像逆像 X⊆Y ⇒ f(X)⊆f(Y)X⊆Y ⇒ f-1(X)⊆f-1(Y) 演算 順像逆像 ∪f(X∪Y)=f(X)∪f(Y)f-1(X∪Y)=f-1…