余像から像への射

射 f から右図のように、ker f、cok f、cok ker f、ker cok f が作られる。

  (ker f) ; f
= (ker f) ; (cok ker f)
= 0

と cok ker f の普遍性より(1)の射が存在する。従って

  (cok ker f) ; (1) ; (cok f)
=                f  ; (cok f)
= 0

がなりたつ。
また、(1);(cok f) と平行(共端)なゼロ射 0 を考えて

  (cok ker f) ; 0
= 0

がなりたつ。
上記2式から、特に

  (cok ker f) ;  0
= (cok ker f) ; (1) ; (cok f)

である。
cok ker f はエピだから、

0 = (1) ; (cok f)

従って

  (ker cok f) ; (cok f)
=         (1) ; (cok f)
(= 0)

と ker cok f の普遍性より、(2)の射が存在する。