エピならば全射(別証明)

「エピならば全射」の証明にちょっと不満があったので別のを考えてみた。とはいってもほとんど同じ。
具体的には、集合と写像的な議論が多くてカテゴリカルな構造との境がよく分からないところが不満。今回の証明で満足かは自分でもよく分からないけど、前のものよりはマシじゃないかと。

subobjct classifier を用いる。

次の2つの図式を考える。

A1 -----> B1 -----> 1         A2 -----> B2 -----> 1 
｜        ｜        ｜        ｜        ｜        ｜
｜  p.b.  ｜  p.b.  ｜        ｜  p.b.  ｜  p.b.  ｜
｜        ｜        ｜        ｜        ｜        ｜
↓   f    ↓   x1   ↓        ↓   f    ↓   x2   ↓
A  -----> B  -----> 2         A  -----> B  -----> 2 

1、2はそれぞれ1点集合、2点集合で、四角形はすべてプルバック。

fがエピということは、

f;x1 = f;x2 ならば x1 = x2

だから、上の図式でいうと、

A1 〜 A2 ならば B1 〜 B2

になる。「〜」は同型を表す。
逆は当然成り立つから、

A1 〜 A2 <=> B1 〜 B2

としてよい。
b∈Bとして、B1 = {b}、B2 = φ(空集合)と置くと、最初のプルバックの図式は

A1 ----->{b} -----> 1         φ -----> φ -----> 1 
｜        ｜        ｜        ｜        ｜        ｜
｜  p.b.  ｜  p.b.  ｜        ｜  p.b.  ｜  p.b.  ｜
｜        ｜        ｜        ｜        ｜        ｜
↓   f    ↓   x1   ↓        ↓   f    ↓   x2   ↓
A  -----> B  -----> 2         A  -----> B  -----> 2 

となり、fがエピのときは、{b} ≠ φだからA1とφ(=A2)は同型ではない。これはfが全射であることを言っている。
A1 が f^-1(b)となることは要確認。プルバック性から出るはず。