順序集合のガロア接続
ガロア接続は名前の恐ろしさに反して意外に簡単で面白い。証明も難しくない上に面白い。別の場所に書いたのを転載する。
基本的にマックレーンの「圏論の基礎」pp. 124-126 の劣化コピー。
ガロア対応*3
R, S を順序集合とし, f: R→S, g: S→R をガロア接続とする.
R の部分集合 R' = {r∈R|r=g(f(r))} と
S の部分集合 S' = {s∈S|s=f(g(s))} について, R' 〜 S' *4 である.
- 証明
- g・f=idR', f・g=idS' を示せばよいが, R', S' の定義よりこの性質は満たされている. 従って f(R')⊆S', g(S')⊆R' を言えばよい.
- 【f(R')⊆S'】
- 任意の r∈R' に対して f(r)∈S' を示せばよいがこれは f(g(f(r)))=f(r) ということである.
- r に対してガロア接続を適用して, g(f(r))≧r である. 両辺を f で写すと不等号が反転して f(g(f(r)))≦f(r) となる.
- 一方, f(r) に対してガロア接続を適用して, f(g(f(r)))≧f(r) となる.
- 順序集合だから従って f(g(f(r)))=f(r).
- 【g(S')⊆R'】
- 同様にすればよい.
