関手圏の subobject classifier

C を任意の(小さな)圏、Sets を集合圏として、SetsC の形をした関手圏の subobject classifier を構成してみる。ネタ元はAlgebra in a Topos(PDF)。 subobject classifier Ω は関手圏 SetsC の対象だから関手 Ω: C → Sets。Ωの対象部分を以下のように定義す…

2011-06-28

sieve と cosieve の定義

圏 C の対象 X について X 上の sieve とは、X へ向かう射(0個、複数可)からなる放射状の図式 S で、任意の射 f ∈ S と射 g が g ; f と結合可能ならば、g ; f ∈ S をみたすものをいう。上の条件を "closed under precomposition with morphisms in C"、あ…

2011-06-26

CLTT 補題 2.6.5 (Lambek)

昨日の読書会で未消化だったので復習. 補題 2.6.5 (Lambek) T-始代数 φ: TY → Y は iso. 下の図で考える. Tf Tφ TY────→TTY────→TY ｜｜｜｜φ ｜Tφ ｜φ ｜｜｜ ↓ ↓ ↓ Y────→TY ────→ Y f φ左の四角は φ が始代数だから f が唯一つ存在することで保証さ…

2011-06-14

スライスカテゴリーの図式の書き方

スライスは、圏から新しい圏をつくるそこそこメジャーな方法。定義の一例を書いてみる。圏 C とその対象 X に対してスライス X/C とは対象: X → A なる射。A は C の任意の対象。射 : f: x → y は、C の射 f で x;f = y (in C) を満たすもの。という圏。…

2011-06-13

極限から余極限をつくる手順

「トポスは有限余極限を持つ」で概略だけ紹介した、余極限をつくる手順をまとめてみる。以下の話は全て任意のトポスで可能な構成になっているが、集合圏を思い浮かべればいいと思う。 P をパワーセット関手(反変、自己関手)、ε を P2 コモナド*1の余単位とす…

2011-06-13

像と逆像

よくわからなくなるのでメモ。とくに順像のほう。「＼」は集合差、「-c」は補集合をとる演算。X、Y は適当に解釈する。行って来い X⊇f(f-1(X))X⊆f-1(f(X)) 関係順像逆像 X⊆Y ⇒ f(X)⊆f(Y)X⊆Y ⇒ f-1(X)⊆f-1(Y) 演算順像逆像 ∪f(X∪Y)=f(X)∪f(Y)f-1(X∪Y)=f-1…

2011-06-12

Conceptual Mathematics Article IV Exercise 17 で挫折

Conceptual Mathematics Article IV Exercise 17*1を解こうとして行き詰まった。問題は以下。S は集合圏で、B はそれぞれの圏の対象。 In S, S↓↓, and S◯, sums have the property that any point of B1 + B2 comes via injection from a point of exactly …