関手圏の subobject classifier
C を 任意の(小さな)圏、Sets を集合圏として、SetsC の形をした関手圏の subobject classifier を構成してみる。ネタ元はAlgebra in a Topos(PDF)。
subobject classifier Ω は関手圏 SetsC の対象だから関手 Ω: C → Sets。Ωの対象部分を以下のように定義する:
Ω: C → Sets X ├→ X 上の cosieve 全体のなす集合
cosieve はsieve と cosieve の定義を参照。
Ωの射部分を以下のように定義する:
Ω: C → Sets X ├→ ΩX │ │ f│ │Ωf ↓ ↓ Y ├→ ΩY Ωf: ΩX → ΩY S ├→ {g: Y→Z | Z∈|C|, f ; g ∈ S}
SetsC の終対象 1 は、全ての対象と射を Sets の 1 と id に移す関手がその性質を満たしている。
t: 1 → Ω は、最大 cosieve を指すものと定義する:
Ω: C → Sets tX X 1 ─→ ΩX ∋ max_S │ │ │ ┬ f│ id│ │Ωf │ ↓ ↓ tY ↓ ↓ Y 1 ─→ ΩY ∋ Ωf(max_S)
Ωf(max_S) が Y 上の最大 cosieve になっていることは明らか。
これで関手圏 SetsC の subobject classifier が構成できた。