像と逆像
よくわからなくなるのでメモ。とくに順像のほう。
「＼」は集合差、「-c」は補集合をとる演算。X、Y は適当に解釈する。
| 行って来い | ||
|---|---|---|
| X⊇f(f-1(X)) | X⊆f-1(f(X)) | |
| 関係 | ||
| 順像 | 逆像 | |
| X⊆Y ⇒ f(X)⊆f(Y) | X⊆Y ⇒ f-1(X)⊆f-1(Y) | |
| 演算 | ||
| 順像 | 逆像 | |
| ∪ | f(X∪Y)=f(X)∪f(Y) | f-1(X∪Y)=f-1(X)∪f-1(Y) |
| ∩ | f(X∩Y)⊆f(X)∩f(Y) | f-1(X∩Y)=f-1(X)∩f-1(Y) |
| ＼ | f(X＼Y)⊇f(X)＼f(Y) | f-1(X＼Y)=f-1(X)＼f-1(Y) |
| -c | f(Xc) ? f(X)c | f-1(Xc)=f-1(X)c |
| その他 | ||
| f(X∩f-1(Y))=f(X)∩Y | ||
逆像の忠実っぷりが際立つ。
注意すべきは演算の順像の下3つ。とくに一番下の「?」は、これといって特別な関係がないことを言っている。
また、「その他」の等式は、あるムックの記事*1で
この型の等式が, 数学のいたるところにでてくるのはまったく不思議である。
と紹介されていて印象に残ったので記しておいた。
その他に追記
ある本には次のような特殊な場合が紹介されていた。
X∩f-1(Y) ≠ φ ⇔ f(X)∩Y ≠ φ
*1:数学の楽しみ No. 5 の「高校生のための数学教室-5」
