集合圏では全射とエピは同値
集合と写像の圏で、
全射 <=> エピ
であることを示す。Conceptual Mathematics 読書会でつっかえたが、2点集合を使えば比較的楽に示せるというのがポイント。
fが全射 => fがエピ
「集合圏ではレトラクションと全射は同値」で示したようにfが全射ならばセクションを持つから
f;x = f;y
となるx、yについて、左からセクションsをかけて
s;f;x = s;f;y id;x = id;y x = y
となり、fはエピ。
fがエピ => f が全射
「冪集合関手と逆像」の特性関数と部分集合の同一視を参考にする。
fがエピだから、2点集合*1に対しては、
B1
f ----->
A -----> B 2
----->
B2
∀B1,B2⊆B, f;B1 = f;B2 ならば B1 = B2である。2への写像*2は部分集合と同一視できるから、B1、B2 は写像であり、B の部分集合でもある。
合成 f;B1、f;B2 も2への写像だから、A の部分集合を表している:
f;B1 = f-1(B1) f;B2 = f-1(B2)
これを用いてエピの条件を書くと
∀B1,B2⊆B, f-1(B1) = f-1(B2) ならば B1 = B2
となる。とくに、B2 = φ(空集合) とすると、f-1(φ) = φ だから
∀B1⊆B, f-1(B1) = φ ならば B1 = φ
となり、これは f が全射であることを言っている。
対偶をとって
∀B1⊆B, B1 ≠ φ ならば f-1(B1) ≠ φ
とすれば分かりやすいかもしれない。
