関手としての写像
(冪集合関手と逆像 とちょっと関係するかもしれない。)
写像 f:X → Y を関手として解釈しなおすことを考える。
圏 2X を、
対象: X の部分集合 射: 包含写像。すなわち、X' ⊆ X'' の時、X' → X''
とする。写像 f: X → Y があるとき、圏 2Y から 圏 2X への共変関手 f-1: 2Y → 2X を、
対象について: Y' (⊆ Y)に f-1(Y') (⊆ X) を対応させる。 射について: Y' ⊆ Y'' に f-1(Y') ⊆ f-1(Y'') を対応させる。
と定める。逆像をとる操作は包含関係を保存するから、well-defined である。
逆像をとる操作はこの他にも、∩、∪を保存し、空集合、全体集合もそのまま移す:
f-1(Y' ∩ Y'') = f-1(Y') ∩ f-1(Y'') f-1(Y' ∪ Y'') = f-1(Y') ∪ f-1(Y'') f-1(φ) = φ f-1(Y) = X
圏の言葉で言えば、逆像をとる関手は、直積、直和、始対象、終対象を保存する。
逆像をとる関手 f-1 は元の写像 f の情報を全て持っている*1。順像の方も関手になり、情報を全て持っているが、直積と終対象を保存しない。
以上から、写像を部分集合に対して考えるときは、逆像を考える方が扱いやすいといえる(かもしれない)。
追記
補集合関手 c: 2X → 2X を考える。
対象: X' に 補集合 X＼X' を対応させる。
射: 包含関係を包含関係に移す。
補集合関手は反変になっている:
X'' ⊆ X' ならば、X＼X'' ⊇ X＼X' X' c(X') ↑ ｜ ｜ ｜ ｜ ↓ X'' c(X'')
関手 f-1は補集合関手と可換になっている。つまり、以下の図が可換。
f-1
2Y ーー→ 2X
｜ ｜
｜c ｜c
↓ ↓
2Y ーー→ 2X
f-1
*1:1点集合について考えればよい。
