冪集合関手と逆像
集合Xのすべての部分集合の集合を冪集合(power set)と呼び、2Xとか、P(X)などと書く。
集合から冪集合を作るというのはどういうことかをカテゴリーで考えてみる。
冪集合の構成を集合圏SetsからSetsへの関手として考えたい。集合Xに集合P(X)が対応するはずだが、写像f:X→Yには何が対応するだろう？その関手は共変か反変か？
集合Xの部分集合X'はXから2への特性関数で表すことができる。ただし、2 = {0, 1}。
X'(x) = 1 (x ∈ X')
= 0 (それ以外)特性関数と部分集合を同じ記号X'で表した。この見方では、すべての部分集合の集合は、すべての特性関数の集合ということになる。これは集合圏Setsで言うと、Sets(X, 2)ということになる:
2X = P(X) = Sets(X, 2)
集合Xに対して冪集合Sets(X, 2)を作ると考えると、冪集合関手は
P = Sets(-, 2)
と考えることができる。
経験上、Setsの第一引数をブランクにした関手は、反変であるとしたほうがいい。なので、冪集合関手も反変とする。
では、射(関数)はこの関手でどう移されるのか？通常のHom関手の取扱いに従って、
Y Sets(Y, 2) ∋ Y' ↑ ｜ ┬ ｜f ｜Sets(f, 2) ｜ ｜ ↓ ↓ X Sets(X, 2) ∋ f;Y'
となる。f;Y'(普通の合成写像の記号だと、Y'・f)は何だろうか？
f;Y'は、Yの部分集合Y'にXの部分集合f;Y'を対応させたものだが、実は f;Y' = f-1(Y')、つまり逆像になっている。
f;Y' = f-1(Y')
[証明]
(=>)
任意のx∈Xに対して、
x.f;Y' = 1 (圏論記法) ⇔ Y'(f(x)) = 1 (写像記法) ⇔ f(x) ∈ Y' (集合記法) ⇔ x ∈ f-1(Y')
(<=)
上の議論を逆にたどればよい。
x.f;Y' = 0 の場合は、各式を否定すればよい。
[証明終わり]
ということで、
Sets(f, 2) = f-1
が言えた。
写像fを部分集合系で考えるとき、順像で考えるのも逆像で考えるのも、共に元の写像fの情報を全て持っている。しかし以上の議論からは、形式的に整っているのは逆像の方だということが示唆される。
