Conceptual Mathematics の表紙の絵について

Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories
関手圏の subobject classifierの具体例として、グラフの圏 Sets↓↓ のsubobject classifier を構成してみます。
↓↓は、対象が A、B の2つ、射が f、g: A → B の2つと恒等射の4つのみの圏。この圏の cosieve を全て決定していきます。

  • A上の cosieve
{idA, f, g}     (3 と書くことにする)
{f, g}          (fg' と書くことにする)
{f}             (f' と書くことにする)
{g}             (g' と書くことにする)
{}              (0A と書くことにする)
  • B上のcosieve
{idB}           (1 と書くことにする)
{}              (0B と書くことにする)

以上が↓↓の全ての cosieve です。従って、関手Ω: ↓↓Sets の対象部分は

ΩA = {3, fg', f', g', 0A}
ΩB = {1, 0B}

となります。最大 cosieve は 3 と1 です。
Ωの射部分の定義から

Ωf: ΩA  → ΩB
      S ├→ {h: B→C | C∈|↓↓|, f ; h ∈ S}
Ωg: ΩA  → ΩB
      S ├→ {h: B→C | C∈|↓↓|, g ; h ∈ S}

となります。具体的には

Ωf: ΩA → ΩB
        3   ├→ 1
        fg' ├→ 1
        f'  ├→ 1
        g'  ├→ 0B
        0A  ├→ 0B

Ωg: ΩA → ΩB
        3   ├→ 1
        fg' ├→ 1
        f'  ├→ 0B
        g'  ├→ 1
        0A  ├→ 0B

です。
以上で Sets↓↓ の subobject classifier Ωが構成できました。当然、Ω ∈ Sets↓↓ なので、グラフとして図示できます。すなわち、ΩA が矢の集合、ΩB が点の集合です。そして、Ωf が矢の始点を指す写像、Ωg が矢の終点を指す写像となります。従ってグラフの矢と点の対応は

矢 3    : 1  → 1
矢 fg'  : 1  → 1
矢 f'   : 1  → 0B
矢 g'   : 0B → 1
矢 0A   : 0B → 0B

です。最大 cosieve の矢 3 が t(true) になります。実際に絵にすると、

のようなグラフになります。これが Sets↓↓ の subobject classifier です。
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