Conceptual Mathematics の表紙の絵について
関手圏の subobject classifierの具体例として、グラフの圏 Sets↓↓ のsubobject classifier を構成してみます。
↓↓は、対象が A、B の2つ、射が f、g: A → B の2つと恒等射の4つのみの圏。この圏の cosieve を全て決定していきます。
- A上の cosieve
{idA, f, g} (3 と書くことにする) {f, g} (fg' と書くことにする) {f} (f' と書くことにする) {g} (g' と書くことにする) {} (0A と書くことにする)
- B上のcosieve
{idB} (1 と書くことにする) {} (0B と書くことにする)
以上が↓↓の全ての cosieve です。従って、関手Ω: ↓↓ → Sets の対象部分は
ΩA = {3, fg', f', g', 0A} ΩB = {1, 0B}
となります。最大 cosieve は 3 と1 です。
Ωの射部分の定義から
Ωf: ΩA → ΩB S ├→ {h: B→C | C∈|↓↓|, f ; h ∈ S} Ωg: ΩA → ΩB S ├→ {h: B→C | C∈|↓↓|, g ; h ∈ S}
となります。具体的には
Ωf: ΩA → ΩB 3 ├→ 1 fg' ├→ 1 f' ├→ 1 g' ├→ 0B 0A ├→ 0B Ωg: ΩA → ΩB 3 ├→ 1 fg' ├→ 1 f' ├→ 0B g' ├→ 1 0A ├→ 0B
です。
以上で Sets↓↓ の subobject classifier Ωが構成できました。当然、Ω ∈ Sets↓↓ なので、グラフとして図示できます。すなわち、ΩA が矢の集合、ΩB が点の集合です。そして、Ωf が矢の始点を指す写像、Ωg が矢の終点を指す写像となります。従ってグラフの矢と点の対応は
矢 3 : 1 → 1 矢 fg' : 1 → 1 矢 f' : 1 → 0B 矢 g' : 0B → 1 矢 0A : 0B → 0B
です。最大 cosieve の矢 3 が t(true) になります。実際に絵にすると、
のようなグラフになります。これが Sets↓↓ の subobject classifier です。