Conceptual Mathematics Article IV Exercise 17*1を解こうとして行き詰まった。 問題は以下。S は集合圏で、B はそれぞれの圏の対象。 In S, S↓↓, and S◯, sums have the property that any point of B1 + B2 comes via injection from a point of exactly …

集合圏のように、極限と余極限が常に存在する場合に、面白いことが言えるのでメモ。以下は集合圏で書くが 一般化は色々できると思う。 Sets を集合圏とする。任意の圏 C と任意の関手 J: C → Sets があるとする。J ∈ |SetsC|。J は Sets 内の図式と思ってよ…

圏論の基礎(マックレーン)などで極限の定義に用いられている普遍射*1の概念と, 関手の表現可能性の間にはっきりした関係があったので書いておく. 普遍射と関手の表現可能性 マックレーンに書いてありそうだけど書いてない内容. *2 関手 F: D → C と c ∈ |C| …

カルテシアン射の言い換えで簡単に証明できるCLTTの演習問題があったので書いておく。 f がカルテシアンで, g, h が関手で同じ射に移る*1とき, g;f = h;f ならば g = h. 証明 g, h ∈ Lifts( f, g; f ) pg = ph ∈ Lifts(pf, (pg);(pf))で, g, h は共に関手 p …

ふと思い立って肉じゃがを作ったら予想以上にうまくいったのでメモ。 縛りとしては、醤油、砂糖、みりんは持ってないから使わない。かわりにめんつゆ(濃縮2倍)を使う。 参考にしたのはこのレシピ。 材料 分量は全部1にした。だいたい2人分ぐらいじゃないかな…

以前、デカルト射の定義について書いたが、あれはとても覚えにくいしイメージもしづらい。そこで同値な性質で覚えやすい、わかりやすいものはないものかと考えてみた。 手元に証明はあるが、ここではめんどくさくて省略してしまった。なので、あまり信用せず…

「エピならば全射」の証明にちょっと不満があったので別のを考えてみた。とはいってもほとんど同じ。 具体的には、集合と写像的な議論が多くてカテゴリカルな構造との境がよく分からないところが不満。今回の証明で満足かは自分でもよく分からないけど、前の…

集合と写像の圏で、 全射 <=> エピであることを示す。Conceptual Mathematics 読書会でつっかえたが、2点集合を使えば比較的楽に示せるというのがポイント。 fが全射 => fがエピ 「集合圏ではレトラクションと全射は同値」で示したようにfが全射ならばセクシ…

集合と写像の圏で、 レトラクション <=> 全射であることを示す*1。 fがレトラクション => f が全射 fがレトラクションだから、セクションを持つ: s f B ------> A ------> B s;f = id (1)一般に写像について、 φ ψ X ------> Y ------> Z ならば Z ⊇ Im ψ ⊇ …

この記事の証明は難しいとしても、ベキ集合の存在ぐらいは知っておいたほうがいいかなとやり始めたら全然できないのでガックリきました。 仕方ないので色々調べまわってやっと見つけました。先の記事にもあった、TOPOSES, TRIPLES AND THEORIES (Barr, Wells…

層・圏・トポス読書会も読了をもって先日めでたく終了したわけですが、その最後を飾る定理「トポスは finite colimit を持つ」*1の純圏論的証明に興味を持ったので調べてみました。その証明は「層・圏・トポス」にもあるように*2、初等的とは言いがたいです…

デカルト射の定義を微妙に間違えて理解してたみたいで、改めて考え直してみた。 また迷うのもいやなので、論理式でメモしておく。まだ完全に自信があるわけではないので、間違ってたらごめんなさい＆教えてください。 上の図を見ながらだとわかりやすいかも…

先日高校の同級生に連絡をとろうと思ったら、電話もメールもダメ。解約したっぽい。 久しぶりに話したいので、みてたら連絡ください。oto.oto.oto@gmail.com とか、電話番号はtwitterの右の方にのせちゃおうかな。

下の一つ目がpullbackならば、二つ目もpullback。逆も成り立つ。 f2 A ------> B ｜ ｜ ｜f1 ｜f3 ↓ ↓ C -----> D f4 f2 A ---------> B ｜ ｜ ｜<f1,f2> ｜<f3,B> ↓ ↓ C×B -----> D×B f4×B合わせると便利: f A ------> B ｜ ｜ ｜A ｜B ↓ ↓ A -----> B fはpullback。</f3,b></f1,f2>

やめてました。

2度ほど飲みに行ったバーのマスター(女性)がメンバーだったらしい。知らなかった。ほー。 多分別人だと思うけど > http://wadaidayo.tomopoko.net/ch1/1_056.php

例によって、「層・圏・トポス」を読んでて分からなかったので考えてみた。25ページあたり。 出てくる層はすべてX上。層の表し方として、関手スタイルと層空間スタイル(空間Yと局所同相写像p: Y → X)を無断で混ぜて書く。 理解したいのはPullback Y0 -----> …

層・圏・トポスの層のところで出てくる層Ωはかなりイメージしにくい。 前回の読書会で、関手としてのΩは*1 O そのものだということを少し話した。 以降、ちょっと考えて、また違う見方を思い付いたので書いておく。前層の層化も少し関係する。位相空間 X の…

前層が与えられたとき、層化して層を作るのは、層・圏・トポスや色んな本にも載っている。層・圏・トポスの方法は普通じゃないけど、普通のやり方は前回の読書会で話した。 その時より少しすっきりした見方ができたけど、また蒸し返すのもあれなんで日記のほ…

有名な式 1/(1-x) = 1+x+x2+x3+… は、|x| この式に x = 10 と代入すると、 1/(1-10) = 1+10+102+103+… となる。左辺は普通に計算し、-1/9 を得る。右辺は発散しているが、気にせず 10 進法で表記してみる: -1/9 = …111111(10) 両辺を 9 倍すると、 -1 = …999…

(冪集合関手と逆像 とちょっと関係するかもしれない。) 写像 f:X → Y を関手として解釈しなおすことを考える。 圏 2X を、 対象: X の部分集合 射: 包含写像。すなわち、X' ⊆ X'' の時、X' → X'' とする。写像 f: X → Y があるとき、圏 2Y から 圏 2X への共…

集合Xのすべての部分集合の集合を冪集合(power set)と呼び、2Xとか、P(X)などと書く。 集合から冪集合を作るというのはどういうことかをカテゴリーで考えてみる。冪集合の構成を集合圏SetsからSetsへの関手として考えたい。集合Xに集合P(X)が対応するはずだ…

昨日開催された米田祭に、主に写真と野次担当で参加しました。 Google グループとか第一回層圏トポス米田フェスティバル@矢上祭 | Flickr。 10分で説明する圏、関手、自然変換 セミコロンをオーバーロード(C++的な意味で) など、とても面白い集まりでした。 …

マヤゲーム - oto-oto-oto日記に追加で、いつも忘れることをメモしておく。 マヤ図形と箱玉 マヤゲームを違った形に表現してみる。 マヤ図形を碁石の並びではなく、箱玉列とみる。つまり黒石を玉の入った箱、白石を空箱と見る。 … [●][●][ ][ ][●][●][●][ ][…

パズル：スワップ・マシンの並列プログラミング - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)にコメントした件。マヤゲームってあまり知られていないのかな？と思って検索してみたら、確かにほとんど情報がない。ルールとヤング図の作り方ぐらいしか知らないけ…

マクスウェルの悪魔がこの世に降臨するとき - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)で触れられていた告知：Information Thermodynamics - hiroki_fの日記、面白そうで行ったらよかったなあ。仕事で無理だけど。 で、 測定（情報の入手）と忘却（情報の破棄…

先日、リー代数と素粒子論という古本を買ったので、前書きをよんだ。 物理学に関係の深いこの系統の本では数学の定理の証明を抜かすのは避けがたい誘惑である. しかし証明をとばすことは読者の自由であって, 証明のないということは読者が読みたくても読めな…

昨日の続き。竹内本の図の件について。 P78の2段目右側*1の図、 f FB --------> A --------> A' --------------------------------- Uf B --------> UA --------> UA' の長い横線は、OA',Bと思うのが良くて、だから f FB --------> A A --------> A' -------…

7月11日に行われた第五回「層・圏・トポス 現代的集合像を求めて」勉強会にいってきました。 今回は随伴でハマりました。 で、はまったところを考えてみました。随伴が普遍射を定めるというところの証明です。 以下の図が随伴を適当に表した図です。左側が圏…

友人のところ。とにかくめでたい。おめでとう！