層・圏・トポスのΩ
層・圏・トポスの層のところで出てくる層Ωはかなりイメージしにくい。
前回の読書会で、関手としてのΩは*1 O そのものだということを少し話した。
以降、ちょっと考えて、また違う見方を思い付いたので書いておく。前層の層化も少し関係する。
位相空間 X の開集合と包含がつくる圏を O(X) とする。この圏から新しい圏 O(X)2 をつくる;
対象: O(X) の射。 射: O(X) の四角可換図式。
具体的に書いてみる。
O(X)2の対象は O(X) の射(開集合間の包含関係)なので、U→U'(⇔ U⊆U')である。これを改めて(U, U') *2と書く。
O(X)2の射は O(X) の四角可換図式だから*3、
U −−→ U' ｜ ｜ ｜ ｜ ↓ ↓ V −−→ V'
の縦の矢印が射となる。つまり、(U, U') → (V, V') (ただし、U⊆V、U'⊆V')となる。
実は、この圏 O(X)2 が、O(Ω) になっている。
O(X)2 = O(Ω)
Ωではなく O(Ω) を構成したことになるが、Ωの情報は O(Ω) に全て入っているはずなので、これで満足することにする。
射の圏を O(X)2と書いた理由だが、2 という圏を、
対象: 0, 1 の 2 つだけ。 射: 0 → 1 の 1 つだけ(idは除く)。
とすると、圏 2 から圏 C への関手は、C の射のことになり、その全体 C2 は関手圏となる*4。関手圏なので、射は自然変換となる。この圏はちょうど先に定義した作りかたと全く同じである。ということで、O(X)2 と書いた。
訂正(追記)
O(Ω)の構成が間違っていたようなので、訂正します。この訂正も間違っている可能性は十分ありますが。
O(Ω)の対象はO(X)の射。これは同じ。
O(Ω)の射はO(X)の四角可換図式。ここが間違い。正しくは、
O(Ω)の射はO(X)のpullback。
図式で書くと、
U −−→ U' ｜ ｜ ｜ ｜ ↓ ↓ V −−→ V' p.b.
の縦の矢印が射。つまり、(U, U') → (V, V') (ただし、U'⊆V'、U = U'∩V) のときに限り射。
従って、
O(X)2 = O(Ω)
も間違っています。
