前層の層化

前層が与えられたとき、層化して層を作るのは、層・圏・トポスや色んな本にも載っている。層・圏・トポスの方法は普通じゃないけど、普通のやり方は前回の読書会で話した。
その時より少しすっきりした見方ができたけど、また蒸し返すのもあれなんで日記のほうにちょっと書く。

前層

位相空間 X に対して開集合と包含のなす圏 O(X) から、集合圏 Sets への反変関手 P を前層という。

層化

X の開集合 U を前層 P は P(U) に移す。P から誘導される層 を S とする。層と層空間(エタール空間、エタールバンドル)を区別しないことにする。
P(U) の元 f を「開集合」として、生成される位相を入れる:

∪U∈O(X)P(U) の元を開集合の基とする

これだけでいいはず

いいわけ

ここで行おうとしたのは、層 S の構成ではなく、O(S) の構成である。しかし、この言い方では全く意味をなさない。
まず、P(U) の元が開集合としての性質を満たさない。たとえば、空集合を構成できない。
また、∪、∩、⊆が定義されていない。
これらをクリアするには、記号∪、∩を手で入れて、形式的な演算、分配律を定める。さらに、層の局所大域条件を同値類として割る。これが、O(S) の構成となる。
O(S) から底空間 S を復元するには、S の「点」を構成しなくてはならない。つまり、∈を定義しなければならない。それは結局、層・圏・トポス等でされている層化を行うことになる。
このエントリで言いたかったことは、点を定めて層を作るより、点を考えずに開集合を直接与える方が上記のようにシンプルになるということなのだが、ちゃんとやろうとすると結局複雑になってしまった。