直積関手からの普遍射

考える圏を S とする。
S のある対象 A に対して S の任意の対象 Z との直積 A × Z が存在するとする。このとき、A と直積をとる操作は S から S への関手になっている:

A×-: S → S

この直積関手から S の対象 X への普遍射を考える。すなわち、S のある対象 XA と射 ev: A×XA → X があり以下の性質を満たすとする。

条件
S の任意の対象 B と任意の射 f: A×B → X に対して、右の三角の図式を可換にするような唯一の射 f~: B → XA が存在する。

   B          A×B 
   │          │ ＼
   │          │   ＼
 f~│     A×f~│     ＼ f
   │          │       ＼
   │          │         ＼
   ↓          ↓           ┘
   XA         A×XA ────→ X
                        ev

対象をベキの形に書いたこと、射を ev と呼ぶことには特に意味はなく、慣習に従っただけである。

この性質を満たす XA と ev の組を、「直積関手 A×- から X への普遍射」という。
上のように直積関手からの普遍射が存在する場合、対象 XA をベキ対象(power object)、射 ev を 評価射(evaluation map) と呼ぶのが普通である。ベキ対象 XA は、A から X への射(関数)の集まり、ev は(関数)適用とみなせることが多い。

普遍射の性質から、射 f: A×B → X に対して唯一つ射 f~: B → XA が対応し、逆の対応も存在する。従って f と f~ の対応は一対一(全単射)になっている。f~ のことを「f の (exponential) transpose」と呼ぶことがある。

で、transpose は、僕にはカリー化に見えるんだよなぁ。

関手圏の subobject classifier

C を 任意の(小さな)圏、Sets を集合圏として、SetsC の形をした関手圏の subobject classifier を構成してみる。ネタ元はAlgebra in a Topos(PDF)。
subobject classifier Ω は関手圏 SetsC の対象だから関手 Ω: C → Sets。Ωの対象部分を以下のように定義する:

Ω: C   → Sets
    X ├→ X 上の cosieve 全体のなす集合

cosieve はsieve と cosieve の定義を参照。
Ωの射部分を以下のように定義する:

Ω: C   → Sets
    X ├→ ΩX
    │      │
   f│      │Ωf
    ↓      ↓
    Y ├→ ΩY

Ωf: ΩX  → ΩY
      S ├→ {g: Y→Z | Z∈|C|, f ; g ∈ S}

SetsC の終対象 1 は、全ての対象と射を Sets の 1 と id に移す関手がその性質を満たしている。
t: 1 → Ω は、最大 cosieve を指すものと定義する:

Ω: C   →    Sets
               tX
    X       1 ─→ ΩX ∋  max_S
    │      │      │      ┬
   f│    id│      │Ωf   │
    ↓      ↓ tY   ↓      ↓
    Y       1 ─→ ΩY ∋  Ωf(max_S)

Ωf(max_S) が Y 上の最大 cosieve になっていることは明らか。

これで関手圏 SetsC の subobject classifier が構成できた。

sieve と cosieve の定義

圏 C の対象 X について X 上の sieve とは、X へ向かう射(0個、複数可)からなる放射状の図式 S で、

任意の射 f ∈ S と射 g が g ; f と結合可能ならば、g ; f ∈ S

をみたすものをいう。
上の条件を "closed under precomposition with morphisms in C"、あるいは "saturation condition" ということがある。

双対的に cosieve も定義される:
圏 C の対象 X について X 上の cosieve とは、X から出る射(0個、複数可)からなる放射状の図式 S で、

任意の射 f ∈ S と射 g が f ; g と結合可能ならば、f ; g ∈ S

をみたすものをいう。

最大 sieve、最大 cosieve

X 上の sieve、cosieve について、最大のものを考えることができる。すなわち、

X への(からの)すべての射からなる (co)sieve

が最大のものである。
すぐにわかるが、S が最大 (co)sieve であることと S が id を含むことは同値になる。

参考
sieve in nLab
cosieve in nLab

CLTT 補題 2.6.5 (Lambek)

昨日の読書会で未消化だったので復習.

補題 2.6.5 (Lambek)
T-始代数 φ: TY → Y は iso.

下の図で考える.

      Tf          Tφ
TY────→TTY────→TY
｜          ｜           ｜
｜φ        ｜Tφ        ｜φ
｜          ｜           ｜
↓          ↓           ↓
 Y────→TY ────→ Y
       f           φ

左の四角は φ が始代数だから f が唯一つ存在することで保証される.
右の四角が代数の射であることは直接確かめれば明らか.
全体の四角も代数の射であることは明らか. さらに始代数から始代数への射だから, 唯一つ存在し, それは id でなければならない. 従って

f ; φ = id

である.
左の四角の可換性より,

φ ; f = (Tf) ; (Tφ) = T(f ; φ) = T(id) = id,
φ ; f = id

となる。
よって T-始代数 φ: TY → Y は iso.

図を普通に書ければわかりやすい。

スライスカテゴリーの図式の書き方

スライスは、圏から新しい圏をつくるそこそこメジャーな方法。定義の一例を書いてみる。

圏 C とその対象 X に対してスライス X/C とは

  • 対象: X → A なる射。A は C の任意の対象。
  • 射 : f: x → y は、C の射 f で x;f = y (in C) を満たすもの。

という圏。

例えば X/C の射の結合の図式を書くとき、最初に思いつくのは

           Ｘ
         ／│＼
       ／  │  ＼
   x ／   y│    ＼ z
   ／      │      ＼
 └        ↓        ┘
Ａ───→ Ｂ───→ Ｃ
      f          g

と C の図式で書くことだけど、ちょっと複雑な図式になるとつらい。
で、こういうのを考えた。上の図式と同じものを

   f            g
x ─→ y(=x;f) ─→ z(=y;g)

と書く。射のコドメインが C の結合になっている。射をたどるたびに右に右に追加していくように書く。
これで普通の図式的に書けるし定義にもあっている。
いろんな構成法でそれぞれに適した書き方を見つけるのは、見た目での認識や計算が楽になるので、考えてみると楽しい。