層・圏・トポス読書会 #2

昨日、かなり飲みすぎてどうなるかと思ったが、二日酔いをギリギリ回避して参加した。
今日は、関手、自然変換、圏のベキ、直和、coequalizer、pushout、epi。

  • 関手

例はしりとり圏->MAN(Modified Addition)のlength関手。

  • 自然変換

例がなかなか見つからず苦戦。

    • 可換環の圏から群の圏への2つの関手 GLn と GL1 の間の自然変換det(行列式)。

マックレーン本の例。GLn は一般線形群(正則行列のなす群)を作る関手。いきなりヘビーで大変だった。

    • Listのreverse

tMiyaさん持参の本の例。リストの反転は自然変換になっているという初等的でありがたい例。
応用として、cdrとかもいいんじゃないかと発言したけど、空リストの扱いが困るから微妙。でも同じ感じで結構考えられそう。
(追記:http://d.hatena.ne.jp/uskz/20090526/p4で、cdr も自然変換であることの証明を書いて下さってます。非空リストからリストへの自然変換だそうです。)
(追記:List化関手同士の自然変換 - らむだ畑でつかまえて (catcher in the λ) で論文(これですね)があることを教えてもらいました。後で読む。)

    • 複素ベクトル空間の双対と随伴

谷村本インスパイアの例。未消化。後で考える。

    • Listモナドを定義するときに出てくる例。

flatten と singleton (return)。reverse の話を聞いているときに思い出したので紹介してみた。

  • 圏のベキ

定義の確認。BAなら、確認作業すべてがB内で行われる。あと、図式の立体視とか。

  • 直和

半順序集合での直和と、ついでに直積も。例は谷村本のベキ集合の圏で。

イコライザーの双対。イメージがなかなかつかめない。物々交換といってみたが、なんとも苦しい。

  • pushout

pullbackの双対。集合の intersection と union の例はｲｲ！
定義域の拡大のように見えるところが pushout の感じになっている(by id:hirataraさん)。

  • epi

全射と同値になることの証明に苦戦。背理法を使わない方法が難しい。

ページ数はそれほどでもけれども、前回よりは抽象度が上がったり非直感的だったりしたので、順調に進んでいると思いました。
次回はlimit/colimitから。
皆様お疲れ様でした。