Pullbackの例でわかってなかったところを潰した。たぶん。
圏論による論理学―高階論理とトポスのP70の例。縦の矢印は埋め込み写像(なので単射)。
f*
f-1(C) ----> C
∨ ∨
｜ ｜
↓ ↓
Ａ -----> Ｂ
f
これがPullbackになっている、というお題。
この例はとても気に入ったけれども、勉強会での議論についていけずPendingにしていた。
今日少し考えて何とか理解した。証明は書かないけど
X ⊆ Y ならば f-1(X) ⊆ f-1(Y),
つまり逆像をとる操作は包含関係を保存することをいまさら再確認することで示すことができた。むしろ、Pullback性が包含関係の保存を主張しているような感覚になったが、言いすぎだろうか。そこの検討まで頭が回らない。
写像が保存するもの？
ところで、
- X ⊇ Y ならば f(X) ⊇ f(Y)
- X ⊇ Y ならば f-1(X) ⊇ f-1(Y)
は両方なりたつ。写像は包含関係を双方向に保存する。先の例に使ったのは2番目の方の式。
構造とそれを保存する写像をセットで考えるのはほぼ常識になっているけど、一番ベースの集合と写像それ自身はいったい何を保存しているのだろうか。それともこういう問いの立て方が的外れなんだろうか、とか思い始めた。
集合の構造*1というと、集合演算とか包含関係とかが思いつく。上の2式を見ると、確かに保存している*2。でも行き方向の保存はともかく逆像の方も保存しているのは強すぎやしないかという感じがした。
その感覚を信じるなら、
- 写像は「射」として適切でない。
- 集合演算や包含関係は一番プリミティブな構造ではない。
のどちらかじゃないかと妄想した。
前者はピンとこなかったので後者で何か代替がないか考えてみたら、「写像は『存在』を保存する」というのを思いついた。何となくいい感じがして、さらにオカルトっぽくもなってきたので、ここらへんで考えるのを切り上げた。
特にオチはない。
