外接球の半径

4面体の外接球の半径を求める必要が微妙にあったので、メモ。3次元でも正弦定理みたいなのがあればよかったんだけど。

4面体の1点は原点としておく。
残りの3点を\vec a、\vec b、\vec cとする。また、\vec A = \vec b \times \vec c、\vec B = \vec a \times \vec c、\vec C = \vec a \times \vec bと置いておく。
外接球の半径Rは、

R^2 = \(\frac{1}{2}\frac{1}{\vec a \times \vec b \cdot \vec c}\)^2 \( a^2\vec A + b^2\vec B + c^2\vec C \)^2
となる、と思う。もうちょっときれいにならないかな。あと、これを導くうまい方法ってあるんだろうか。